研究札记：凯利公式与账户已注销的“投变”

前言

今年公司的事情比较多，所以在个人投研上花费的精力较少；这应该是今年最后一篇研究札记了。

最近读了一篇发表于2020年10月的论文《Practical Implementation of the Kelly Criterion: Optimal Growth Rate, Number of Trades, and Rebalancing Frequency for Equity Portfolios》，该文综述了学术界在凯利公式方面的相关研究，同时开发了一个通用框架，将凯利准则应用于股票市场数据，从而应用于投资组合优化。随后，我又做了一些相关的简单测算，并将想法记录如下，欢迎讨论交流。

根据我的发帖习惯，还是先给出结论：
1、在现实投资环境中，经典凯利公式的实用性有限 —— 最粗糙的用法是，不要在单一资产或股票上，投入超过50%的总资金。
2、在实际投资环境中，多数情况下，采用凯利公式（变形）和等权重配置，很难说孰优孰劣，但基于稳健性（robust）、参数更少（过拟合的可能更低）和实操难度更低的考虑，我个人更倾向于采用等权重配置、而非凯利公式。
3、在 @账户已注销 的投资框架中，通过凯利公式（变形），可以将“投稳”和“投变”的资产，组合成一个类似于“投增”的资产；“投变”资产的具体配置比例，可以根据个人的偏好，在凯利公式计算结果的50-100%之间滑动。

一、经典凯利公式、变形及风险平价策略

1、经典凯利公式

经典的凯利公式，如下所示；而通过凯利公式计算某一资产的资金配置比例，需要知道 胜率（获胜概率）和 赔率（盈亏比）。
PS：关于经典凯利公式的推导过程，可以看 up主 科技3D视界 《凯利公式，以及一个横扫股圈的男人》 ；讲述地非常简洁和容易理解（但需要注意的是，这个up主的其他视频并不是完全正确的，部分内容存在偷换概念和其他问题，观看时请自行甄别）。

2、凯利公式的变形

在现实投资环境中，凯利公式需要的两个参数（胜率与赔率）是比较难精准统计和测算的。
如果假设资产价格的波动符合正态分布，那么经典的凯利公式，可以变形为如下所示（具体推导过程，可以参见论文中的公式 9，这里就不详述了）；
同时，所需参数，也由 胜率和赔率，变为 资产收益的均值（u）、资产价格的波动率（σ）和无风险利率（r）；而这3个参数，是比较容易获取和统计的。

3、变形的衍生：风险平价策略

如果假设各类资产的长期夏普比例相同并且无风险利率为0，那么凯利公式（变形）的配置原则就类似于风险平价策略了（波动率大的少配、波动率小的多配）。
PS：当然，这是一个粗糙的比喻；事实上，还需要考虑资产间的协方差，如下所示。


这里想说一句题外话：
通过对凯利公式设置新的假设条件和参数，就可以把不同的投资思想串联到一起，这个推导其实是很美的，同时这个过程也很让人享受 —— 就好像当初刚学概率分布的时候，以正态分布为基础，通过调整假设和参数，就可以推导出不同概率的关联图谱，把伯努利分布、二项分布、泊松分布等等，都串联起来。

二、凯利公式（变形）的资金配置原则

根据上述论文的蒙特卡洛模拟的结果，如下图所示，
1）单一资产的配置比例绝不能超过90%（下图的 fc） —— 否则，长期看，终将破产
2）单一资产的配置比例的最优值在[50%, 70%]（下图的 f*）
3）如果投资者偏好相对保守，采用半凯利比例（half-kelly），将单一资产的配置比例设定在[25%-35%]也是可以的。


具体的蒙特卡洛模拟结果，可以参见下面的图表：

三、凯利公式（变形）与等权重配置的对比

在下文的对比中，计算凯利公式所需参数时，我采用的是1年的滚动窗口（而不是论文中推荐的2年的滚动窗口）。
采用这个参数的原因是，从历史数据看，大类资产均存在较为明显的1年期动量（详情参阅 AQR的论文 《Value and Momentum Everywhere》，这里就不赘述了）。

通过对比下面的3组数据：
1）A股的大盘量化策略和小盘量化策略
2）A股量化策略和可转债量化策略
3）标普500和与其高度负相关的资产

可以发现：
1）凯利公式和等权重配置的长期业绩难分伯仲，而在实操上，等权重更为简单
2）资产相关性的高低，对凯利公式的超额影响并不显著，主要原因是我的测算中凯利公式是1阶的，没有考虑2阶问题。

四、用“投稳”+“投变”拟合出“投稳”

@账户已注销 的投资框架中，投稳 30%、投变 10%、投增 60%。
其中，“投稳”主要投向类现金资产；“投变”主要投向可能增长10倍、100倍，但也可能归零的高风险、高波动标的；“投增”主要是投向“四猛”行业。

如果用比特币作为“投变”资产、美国短期国债作为“投稳”资产，那么
1）采用等权重配置+月度再平衡，可以获得类似高风险股票的收益
2）采用凯利公式（变形）配置+月度再平衡，可以获得类似于高等级信用债的收益
详情参见下图：


因此，投资者可以根据自己的风险偏好，在凯利公式和等权重比例之间，主动定制自己投资组合的整体预期收益和回撤风险 —— 这也是凯利公式带给我们的核心思想。

五、几种杠杆工具和凯利公式的组合使用

这部分就不展开了，因为说起来比较麻烦；但是仍然欢迎有兴趣的网友一起讨论。
在《牛年薄献，普通人可学可用的反脆弱风险控制理念和实践》的回帖中，我给出了不同杠杆的Beta变化情况，如下图所示：
PS：下面的图，是基于期货的Beta始终为1作为参照系的；如果把参照系改成是杠杆ETF始终为1，那么对应的图表是需要变形的。


然后，把这些杠杆工具和凯利公式组合使用，在美国市场上，可以得到下面的图表。

六、结论

1、凯利公式，给出了大的资金管理原则；至于具体的参数细节，则不用过于纠结。
2、对于像我这样的懒人来说，等权重配置也挺好。
3、通过“投稳”和“投变”这两类差异极大的资产，结合凯利公式，就可以构建出稳健的“哑铃型”投资组合。
4、杠杆工具和资金配置的组合使用，是可以继续深入研究的 ——“九债一购”是思想框架，是用于启发的，而不是用于“恪守”的。